高中圆锥曲线解题技巧之第二定义(一) - 飞外

经过一轮又一轮的教改，椭圆第二定义在教材里已经没有什么痕迹了，从另一方面来说，高考中有第二定义背景的题目也越来越少了，最近一次较为明显椭圆第二定义背景的高考题是2018全国III，在前面高中圆锥曲线解题技巧之“垂径定理”(四)中提到了第(1)问，而第(2)问就是一个第二定义背景的题目：

类似|FA|、|FB|这种椭圆上的一点到其焦点的距离，也称之为焦半径，而焦半径可以从椭圆的第二定义直接得出，先介绍一下椭圆的第二定义：

如果 那自然就是双曲线的第二定义了，只是由于近些年双曲线大题在高考中极少出现，因此这里还是以介绍椭圆为主。圆锥曲线第二定义可以简单理解为，平面上一点到一个定(中文邮件格式：邮件的主题是为了让收件人看到邮件之后对该邮件有个大体了解，确定邮件的紧急、重要程度、有效、有用性的；所以在写主题的时候最主要的突出 什么事、重要程度等关键信息；可以按照以下方式和思路去写：格式：修饰词+邮件内容+时间+发件人。如果有必要的话还可以在主题上加上紧急程度和邮件的主体内容，清晰明了。)点和定直线的距离之比小于1时，轨迹是椭圆；等于1时，轨迹是抛物线，大于1时，轨迹是双曲线。

由这个定义很容易得到以下结论，这个结论也叫焦半径公式：

注：

焦半径公式是高中必背的二级结论之一。

在大纲内有椭圆第二定义时，这个结论可以直接写，但是现在删了，因此考试时为了保险起见，要证明一下再用，这个结论的证明非常粗暴，过程如下：

利用这个结论，这道全国III的题目就容易多了，至少证明等差数列这步非常容易：

接下来到了求公差环节，说起来这个求公差很多同学求的有点惨烈，先看一下这个公差的表达形式：

算到到了这里，很多同学又抑制不住自己的洪荒之力了，非常自然的就去想通过联立解出直线AB的方程，然后再通过韦达定理求两根差。这个想法不能说错，但是绕的太远了。只要认真思考一下，直线AB的方程是可以直接写出来的。在证明等差数列的推导过程，我们得到了一个确定的值， ，代入椭圆方程，解得 ，又由于 ,因此 ，得 。如果第(1)问有印象的话，高中圆锥曲线解题技巧之“垂径定理”(四)是用椭圆的“垂径定理”做的，因此第(1)问的结论这里直接就可以用了：

现在我们有 ，有斜率 ，因此直线AB的方程直接就可以写出来了：

，与椭圆方程联立，整理出一个一元二次方程求出两根差即可算出公差，以下是求公差完整过程：

本题最后一步有个陷阱：由于公差可正可负，因此是两个结果，只写一个结果会扣分。

如果没有椭圆第二定义的背景知识，这个题算起来是比较麻烦的，而且结果很不规整，就算得到正确结果，也会有所怀疑。本题对于学生的二级结论考察水平较高，如果既不知道椭圆的“垂径定理”，也不知道椭圆的第二定义，恐怕这个题目就凶多吉少了。

扫码加微信详细咨询太和智慧养老产品和平台服务！

扫码加微信详细咨询太和智慧养老产品和平台服务！

扫码加微信详细咨询太和智慧养老产品和平台服务！