无理数的定义？为什么会存在无理

本文目录

• 无理数的定义
• 为什么会存在无理数
• 无理数有哪些
• 数学中π是什么数
• 随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数
• 无理数是什么数
• 如何理解无理数
• 万有引力常数G，是有理数还是无理数为什么

无理数的定义

无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。定义：在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、√2等。扩展资料历史：传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明√2无法用整数及分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。无理数集：无理数集是不可数集（因有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是个不完备的拓扑空间，它是与所有正数数列的集拓扑同构的，当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

为什么会存在无理数

有理数在英语中是rational number，rational通常的意义是“理性的”。近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，把它译成了“有理数”。其实这个词来源于古希腊，词根ratio是比例的意思。所以说更让我们理解的翻译方法叫做比例数（有理数），非比例数（无理数）。

数的扩展

自然数

人类最早认识的数是0、1、2、3、4、5……这就是我们所熟悉的自然数。

整数

自然数对于加法和乘法是封闭的，减法就不一定了，比如说，1-2等于多少。 通过减法将数扩展到整数。在整数范围内，对于加法、减法、乘法是封闭的。

比例数（有理数）

通过对整数进行除法，数扩展到了比例数（有理数，将整数及0可以视为一种特殊的分数）

非比例数（无理数）

有理数具有稠密性，但有理数却不是完备的，也就是说有理数有空隙，无理数则填补了这个空隙。

实数

所谓的实数就是有理数及无理数，之前讲过戴德金分割。如果对实数进行分割的话，只会出现前两种情形，意思就是实数具有完备性。
实数的连续性与完备性是等价的，学过数学分析的人都知道：实数的连续性定理（确界存在定理），推出单调有界数列收敛定理，再推出闭区间套定理，再推出Bolzano-Weierstrass定理，再推出Cauchy收敛原理。 Cauchy收敛原理表明，由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质被称为实数的完备性。 还可以证明实数系的完备性，也包含了实数系的连续性。也就是说，实数的完备性与连续性是等价的。

毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯的个重大发现就是毕达哥拉斯定理，根号2引发了第一次数学危机。这次数学危机持续了很长时间，直到柯西、微尔斯特拉斯、戴德金等人的杰出工作才算是彻底解决。可以这么说吧，毕达哥拉斯定理只是无理数产生的一个契机，其根源在于人类的理性思考。

无理数有哪些

无理数有三种：

（1）π，也就是3.1415926…………这类的，只要和π有关系的基本上都是无理数了。

（2）开方开不尽的数。这里“开方开不尽的数”一般是指开方后得到的数，而不是字面解释的那个意思。例如根号2，三次根号2……

（3）还有一种就是这类的：例如：0.101001000100001……，它有规律，但是这个规律是不循环的，每次都多一个0，发现了没。它是无限不循环小数。这个也是无理数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

数学中π是什么数

π是一个希腊字母！用来表示圆的周长与直径的比值！

π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

π是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

随手画一条直的线，它的长度最有可能是有理数还是无理数

这个问题本身就是一个很有争议的话题，但是如果站在数学的角度上考虑，这个问题却是有确切的答案的。随手画的直线长度是无理数的可能性更大些。

首先我们可以假设这里的随意画出的线段长度是随机性的，你可以画出长度为10的线段，也可以画出长度为π的，完全不收任何因素影响。那么这个问题就转变成在所有的实数中（因为线段的长度总是一个实数，不可能是虚数。）是有理数多还是无理数多？

有人会问，这个无理数和有理数之间还可以比数量多少？这个真的可以！

1874年，德国数学家康托尔发表论文证明了一个惊人的结论，他利用创立的对角线法则证明了，所有的整数和有理数是一一对应的，而实数不能与整数一一对应。何为一一对应？

比如，小明和小白手里都藏着很多张牌，他们却并不会数数，那有什么方式来验证他们手中谁的牌更多呢？由于他们的数学水平实在太差，他们想了好久终于想到了一个很好的方法。那就是每次每人抽一张，放在一起，然后再抽一张，直到谁手中没有牌了，那么手中还有牌的人牌就是最多的。这是当然是显而易见的笨办法。

上面每次都会从小明小白手中各取一张，我们就可以理解成一一对应。假如他们两个手中的牌刚刚可以完全对应结束，那么他们手中的牌数量就是一样多的。这是一个显而易见的结论，通常情况下，在有限张牌的情况下，这是一个很容易接受的概念。但是如果小明小白手中的牌是无限个，恐怕就不一定有人敢下这样的结论了。

康托尔证明了，有理数可以与所有整数一一对应，同时，偶数也可以和所有整数相对应，奇数也可以和所有整数相对应。等等，偶数能和整数相对应，那不就是说偶数的个数和有理数是一样多的？是的，很反常，但是这是经过理论严格证明的。

同时康托尔也证明了另外一个重要结论：有理数都是可数的，而实数不可数。所以，实数无法与有理数一一对应，因为实数的数量要远远多于有理数。也就是说，你在随意画一条线，如果真的有某种方法可以精确测量这条线的长度，那么这里的长度几乎全部是无理数。

顺便说一句，康托尔当年提出的集合论遭到了很大争议，康托尔本人甚至一度因为遭受的非议太多，而精神都出现过问题。好在数学界最后拨乱反正，集合论成为了现代数学的基础理论。

希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

无理数是什么数

无理数相对于有理数(即我们从幼儿园到小

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