本文目录
- 请问大家对数学中虚数，小数，无理数，负数这些自然中不存在的概念是如何理解的
- 外代数那些内容看不懂
- 为什么学几何、代数的鄙视学统计的（或概率论）
- 什么是高等代数吗
- 数学究竟是真实存在的，亦或是人类精神的产物
- 函数的本质是什么
请问大家对数学中虚数，小数，无理数，负数这些自然中不存在的概念是如何理解的
自然界中，万物皆数也！那么，所有的事物都可以用数表示。
数分为实数和虚数。
实数分为有理数个无理数。
有理数分为整数和分数。
整数分为合数和质数。
奇质数分为2n+1类和4n+1类。
2n+1类：3，7，11，19...
4n+1类：5，13，17，29...
其实，有且只有虚数在自然中是不存在的。但是，虚数却是高次方程的解。小数，无理数和负数，在自然中都是存在的。
最开始，有人提出有数字0存在，被宗教者杀害。
小数，有的是分数所化成（如1/7=0.142857...，2/10=0.2）有的是开方等所得（如√2=1.41421356...，sin8=0.989358246...）还有的是人们计算所得（π=3.1415926535...，e=2.7182818284...）。至于负数，就更好理解了，就是相反的。
有人说两个负数相乘没有应用题，我就出一道：
有人以每分钟50米的速度向后走路，8点钟走到A点。请问7点55分钟的时候，此人距离A点多少米？就是(-50)×(-5)=250（米）
要记住：
凡是科学家创造出来的东西，都是可以理解的，都大有用武之地。
外代数那些内容看不懂
（小石头尝试着来回答这个问题！）
设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，定义在 V 上的 r（≥ 1）元函数 f: Vʳ → K，如果，对于每个参数都可以保持 线性运算（称为 线性性），即，（对于任意 x, y ∈ V, k ∈ K, 1 ≤ i ≤ r ）
f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)
f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)
则，称 f 是 r元线性函数。
一般，称 1元线性函数 为 （单）线性函数， 2元线性函数 为 双 线性函数，2元以上的线性函数 为 多线性函数。
给定任意 r ≥ 0，将 全体 r 元 线性函数，记为 Vᵣ，这里规定 V₀ = K，即，0 元线性函数 就是 K 中的 常数。
注意：V₁ = V* 是 V 的对偶空间。关于 对偶空间 的详细介绍可以参考 小石头的另一个回答：怎么形象地理解对偶空间？
在 Vᵣ 上定义 线性运算（对于任意 f, g ∈ Vᵣ, k ∈ K）：
加法：(f + g)(x¹, ..., xʳ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ)
数乘：(kf)(x¹, ..., xʳ) = kf(x¹, ..., xʳ)
则 Vᵣ 构成一个线性空间。
我们 也将 Vᵣ 中的 r元线性函数 称为 r阶（协变）张量，对于 任意 张量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ 可以定义 一种积运算：
(f ⊗ g)(x¹, ..., xʳ , xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
称 ⊗ 为张量积。
显然，对于 每个参数 1 ≤ i ≤ r ，f ⊗ g 满足线性性，因为：
(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = x + y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f(x¹, ..., x, ..., xʳ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ))g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + f(x¹, ..., y, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = (f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) + (f ⊗ g)(x¹, ..., y, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
(f ⊗ g)(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = f(x¹, ..., xⁱ = kx, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = kf(x¹, ..., x, ..., xʳ)g(xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ) = k(f ⊗ g)(x¹, ..., x, ..., xʳ, xʳ⁺¹, ..., xʳ⁺ᵘ)
对于 每个参数 r + 1 ≤ i ≤ r + u，f ⊗ g 也满足多线性性（原因和上面类似），故，f ⊗ g ∈ Vᵣ₊ᵤ 是一个 r+u 阶 张量。
如果，令 G = V₀ ∪ V₁ ∪ ⋯ ，则 ⊗ 在 G 中封闭，是 G 上的二元运算 ⊗: G×G → G。
同时，我们将 上面 Vᵣ 中定义加法运算扩展到 G 上：对于 张量 f ∈ Vᵣ 和 g∈ Vᵤ ，不妨设 r 《 u，则可以令，
f’(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) = f(x¹, ..., xʳ)
其中，u-r 个 0。于是 f’ ∈ Vᵤ ，这样 利用 Vᵣ 的加法运算，得到新的定义：
(f + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = (f’ + g)(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f’(x¹, ..., xʳ, 0, ..., 0) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ) = f(x¹, ..., xʳ) + g(x¹, ..., xʳ, ..., xᵘ)
注意：这里并没有 将 Vᵣ 中数乘运算 引入 G，因为： kf = k⊗f，f ∈ Vᵣ，k ∈ K = V₀ 。
这样 G 上就同时具有 加法 + 和 张量积 ⊗ 两种运算，并且具有如下性质（对于任意 f, g, h ∈ G）：
加法 结合律：((f + g) + h))(...) = (f + g)(...) + h(...) = (f(...) + g(...)) + h(...) = f(...) + (g(...) + h(...)) = f(...) + (g + h)(...) = (f + (g + h))(...)；
加法 交换律 (f + g)(...) = f(...) + g(...) = g(...) + f(...) = (g + f)(...) ；
张量积 结合律：((f ⊗ g) ⊗ h))(...) = (f ⊗ g)(...)h(...) = (f(...)g(...))h(...) = f(...)(g(...)h(...)) = f(...) (g ⊗ h)(...) = (f ⊗ (g ⊗ h))(...)；
分配律：
((f + g) ⊗ h)(...) = (f + g
