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几道高一数学题(函数、数列) 要有过程 好的分会追加80 只求您真诚的帮助

先说明一下记号：
1. 根号√x，在解答中记为Sqrt(x)
2. 不等号，在解答中记为!=
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1、设函数f(x)=x^2+ax+b(a、b∈k).集合M={x|x=f(x) x∈R},N={x|x=f},x∈R.
（1）求证：M∩N=M.（2）若M={1，3}，求M∪N.
注：M ∩ N = M，等价于M包含于N。
(1) 证明：
任取m∈M，则m = f(m)。于是有f = f(m) = m，所以m∈N。这说明 M 是 N 的子集，或者说M包含于N。故M ∩ N = M。
(2) M = {1, 3}，则 a = -3, b = 3. f(x) = x^2 - 3x + 3
f - x = (x^2 - 3x + 3)^2 - 3(x^2 - 3x + 3) + 3 - x = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 10x + 3
由(1)问得知，1和3都是f - x的根。将x - 1和x - 3做因式分解式，得到
f - x = (x - 1)(x - 3)(x^2 - 2x + 1) = (x - 3)(x - 1)^3
故N = {1, 3}。
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2、已知函数f(x)对任意正实数x,y都有f(x×y)=f(x)×f(y),且当x＞1时，f(x)＜1，又f(2)=1/4.
（1）求证：f(x)＞0，（2）求证：f(x^-1)=^-1,（3）求证：f(x)在R+上为单调递减函数.(这题我有点没法)
注：这道题的原型是f(x) = 1/(x^2)。如果能看出来就可以直接做了。这里给出不知道f(x)的解答。
(1) 证明：
任取m 》 0，令x = y = Sqrt(m), 立得f(m) = f(x)f(x) 》= 0.
现在证明不存在f(x) = 0的情况。
假设存在某数a 》 0，使得f(a) = 0. 令x = a, y = 2/a，则有f(2) = f(a)f(2/a) = 0. 这和已知f(2) = 1/4矛盾。故假设不成立，不存在使得f(a) = 0的a值。
故有f(x) 》 0.
(2) 证明：
令x = 2, y = 1，有f(2) = f(2)f(1)，得到f(1) = 1.
令y = x^(-1) = 1/x，有f(1) = f(x)f(1/x)，得到f(x)f(x^-1) = 1. 因f(x) 》 0，有
f(x^-1) = ^-1
(3) 证明：
任取x1, x2使得0 《 x1 《 x2。令x = x1, y = x2 / x1. 根据取法，y 》 1. 有f = f(x2) = f(x1)f(x2/x1). 即f(x2)/f(x1) = f(x2/x1)
依题意，当x＞1时，f(x)＜1。故f(x2)/f(x1) 《 1。因f(x1) 》 0，有
f(x1) 》 f(x2)
所以f(x)在R+上为单调递减函数.
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3. 已知数列{a(n)}中，a(1)=1,且a(2k)=a(2k-1)+(-1)^k,a(2k+1)=a(2k)+3^k,其中k=1，2，3…….
（1）求a(3),a(5).（2）求{a(n)}的通项公式. （第一问不说了 第二问我实在求不来了 本想用数学归纳法做 结果写了20项都没想出来通项）
注：不要轻易用数学归纳法，会死人的。。。
(1) a(1) = 1
a(2) = 0
a(3) = 3
a(4) = 4
a(5) = 13
(2) a(2k) = a(2k-1) + (-1)^k ............................. (1)
a(2k+1) = a(2k) + 3^k ................................ (2)
将(1)式的a(2k-1)用(2)式代入，得到
a(2k) = a(2k-2) + (-1)^k + 3^(k-1) ................... (3)
利用迭代法得到：
a(2k) = a(2) +
上式包含2个等比数列。计算得到偶数项的通项公式：
a(2k) = /2 - 1 ......................... (4)
检验a(2)符合上式，故k = 1, 2, 3...
将(2)式的a(2k)用(1)式代入，得到
a(2k+1) = a(2k-1) + (-1)^k + 3^k ..................... (5)
利用迭代法得到：
a(2k+1) = a(1) +
上式也包含2个等比数列。计算得到奇数项的通项公式：
a(2k+1) = /2 - 1 ................... (6)
检验a(1)符合上式，故k = 0, 1, 2...
结合(4)与(6)得到总的通项公式：
a(x) = {(-1)^}/2 - 1 .............. (7)
其中内数字的整数部分。
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4、已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a、b∈R，满足f(a,b)=a×f(b)+b×f(a)，f(2)=2,a(n)=f(2^n)/n(n∈N+ 正整数，b(n)=f(2^n)/2^n(n∈N+).考查下列结论：①f(0)=f(1) ②f(x)=f(-x) ③数列{a(n)}为等比数列， ④{b(n)}为等差数列。其中正确的是__________ （这题关键是我不知道f(a,b)究竟是个什么东西 表示什么 如果实在不知道 觉得没法做的话 就无视吧）
注：我研究了一下题目，f(a,b)可能是f(a + b)。印刷问题，逗号应该是加号。
解：f(a + b) = a f(b) + b f(a)
① 令a = 0, b = 1，有
f(1) = 0×f(1) + 1×f(0) = f(0)，正确。
② 令a = 0, b = 0, 有
f(0) = 0×f(0) + 0×f(0) = 0.
令a = x, b = -x (x != 0), 有
f(0) = x f(-x) - x f(x) = 0. f(-x) = f(x)，正确。
③ 令a = b = 2^(n-1), 有
f(2^n) = 2^(n-1) f
a(n) = f(2^n)/n = 2^n f a(n-1)
{a(n)}不是等比数列，错误。
④ b(n) = f(2^n) / 2^n = 2^n f = 2^(n-1) b(n-1)
{b(n)}不是等差数列，错误。
正确的是①②。
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