#大有学问#
题目一:解方程:
x2+y2+5x?11y+4=0,x2?5xy+6y2+4x?10y+4=0;
题目二:已知x=√(3+√5)?√(3?√5),
求:3√(5+√26x)+3√(5?√26x)
题目三:解方程:
√(x2+5x?6)+√(3x2?8x+5)=3?3x
题目四:解方程组:
x2?3xy?10y2?3x+y+2=0,x2?2xy?3y2+3x?5y+2=0;
题目五:解方程:
(√(x2+x?1)+√(2x2+2x?3))/(5(x2+x)?6?√(3x2+3x?5)?√(4x2+4x?7))=1
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分析题目:
题目一:
x2+y2+5x?11y+4=0,x2?5xy+6y2+4x?10y+4=0;
x2+5x+4+y2?11y=0,x2+4x+4?5xy?10y+6y2=0;
(x+2)2+y2+(x+2)?11y?2=0,(x+2)2?5(x+2)y+6y2=0;
直接换元p=x+2;
p2+y2+p?11y?2=0,p2?5py+6y2=0;
(p?2y)(p?3y)=0 → p=2y或p=3y:
题目二:
x=√(√(3+√5)?√(3?√5))2
=√(6?2√(3+√5)√(3?√5))=√(6?2√4)=√2
3√(5+√26x)+3√(5?√26x)=3√(5+2√13)+3√(5?2√13)
双换元:p=3√(5+2√13),q=3√(5?2√13);
p3+q3=5+2√13+5?2√13=10,
pq=3√(5+2√13)?3√(5?2√13)=3√(25?4?13)=?3;
(p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3=p3+q3+3pq(p+q);
(p+q)3+9(p+q)?10=0,(p+q)3?1+9(p+q)?9=0;
(p+q?1)((p+q)2+(p+q)+1)+9(p+q?1)=0;
(p+q?1)((p+q)2+(p+q)+10)=0;
(p+q?1)((p+q+1/2)2+39/4)=0;
p+q?1=0;
3√(5+2√13)+3√(5?2√13)=1;
3√(5+√26x)+3√(5?√26x)=1
题目三:
显然x≤1,x=1是方程的一个根
当x<1时,无意义。
综上:x=1
题目四:
x2?(3y+3)x?(10y2?y?2)=0
x2?(3y+3)x?(2y?1)(5y+2)=0
(x+2y?1)(x?5y?2)=0
x2?(2y?3)x?(3y2+5y?2)=0
x2?(2y?3)x?(3y?1)(y+2)=0
(x?3y+1)(x+y+2)=0
x+2y?1=0,x?3y+1=0;
或x+2y?1=0,x+y+2=0;
或x?5y?2=0,x?3y+1=0;
或x?5y?2=0,x+y+2=0;
解得:x=1/5,y=2/5;
或x=?5,y=3;
或x=?11/2,y=?3/2;
或x=?4/3,y=?2/3;
题目五:
√(x2+x?1)+√(2(x2+x)?3)+√(3(x2+x)?5)+√(4(x2+x)?7)=5(x2+x)?6
p=x2+x?1
√p+√(2(p+1)?3)+√(3(p+1)?5)+√(4(p+1)?7)=5(p+1)?6
√p+√(2p?1)+√(3p?2)+√(4p?3)=5p?1
?2√p=(√p?1)2?p?1
?2√(2p?1)=(√(2p?1)?1)2?2p
?2√(3p?2)=(√(3p?2)?1)2?3p+1
?2√(4p?3)=(√(4p?3)?1)2?4p+2
四式相加,左边即为已知条件代入:
?2(5p?1)=(√p?1)2+(√(2p?1)?1)2+(√(3p?2)?1)2+(√(4p?3)?1)2?10p+2
(√p?1)2+(√(2p?1)?1)2+(√(3p?2)?1)2+(√(4p?3)?1)2=0
(√p?1)=√(2p?1)?1=√(3p?2)?1=√(4p?3)?1=0
解得p=1 即:x2+x?1=1 即x2+x?2=0,解得x=1或-2
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