博弈论笔记(二)：混合策略博弈及其纳什均衡

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博弈论笔记(二)：混合策略博弈及其纳什均衡 - 飞外

2023/7/6 17:25:24 ('互联网')

一、引言

前面，我们学习了策略式博弈的纳什均衡。每个玩家可选的策略也叫纯策略。在前面讲的纳什均衡中，每个玩家都要选定一个纯策略。但有的时候并不能找到一个纯策略的纳什均衡，举例如下：

没有纯策略纳什均衡

还有一个常见的例子：石头剪刀布，就没有纯策略的纳什均衡。

这个时候，需要引入新的概念——混合策略。

二、混合策略博弈

以石头剪刀布为例，无论双方采用哪种策略组合，输的一方总可以改变策略使自己反败为胜，因此没有纯策略的纳什均衡。通过引入“随机性”来解决这个问题。

通俗地解释，混合策略就是在纯策略上加上概率，在一次博弈中，玩家随机地选择一种纯策略。

1. 混合策略1)纯策略

在前面的一节学习了纯策略的表示：玩家i的策略集，纯策略。

2)混合策略

混合策略是给每个纯策略分配一个概率，一个玩家的策略(gps是什么意思？GPS是全球定位系统Global　Positioning　System的缩写形式，它是一种基于卫星的定位系统，用于获得地理位置信息以及准确的通用协调时间。)集就是一个“样本空间”。

用表示上的概率分布，即：那么，混合策略

3)混合策略博弈结果

混合策略博弈的博弈结果

定义，则

2. 期望收益

在这样一个“随机”的博弈中，收益如何计算呢？这就需要计算期望的收益了。期望的收益就是纯策略的博弈结果的收益乘上这个结果出现的概率，对每个博弈结果进行求和。

给定一个策略式博弈和一个混合策略博弈结果，玩家的期望收益是

(假设每个玩家的决策是独立的，因此是每个玩家的相应策略的概率乘积)

3. 形式化——混合策略博弈

4. 例子

在下面的博弈中，假设是策略U和策略L的概率，那么：

三、混合策略纳什均衡1. 定义：混合策略纳什均衡(MNE)

一个混合策略博弈结果是一个混合策略纳什均衡(mixed strategy Nash equilibrium)，当对于每个玩家，都有：通俗地解释就是：每个玩家都选择在对手不改变的情况下的最好的分布

简写为：MNE

2. 最优反应

玩家的最优反应

定理：是MNE当且仅当对于所有的，

3. 存在性：纳什定理

定理：有限的策略式博弈一定存在混合策略纳什均衡

有限指：有限的玩家，每个玩家都有有限种纯策略。

4、求解混合策略纳什均衡

定理：是MNE当且仅当玩家的每个具有正概率的纯策略都是的最优反应。(证明略)

也就是说，玩家选任意一种纯策略的期望收益是相同的。

用这个定理来求解MNE

例子

设玩家1选择U的概率是，玩家2选择L的概率是

由玩家2选L的期望收益等于玩家2选R的期望收益，得式子：由玩家1选U的期望收益等于玩家1选D的期望收益，得式子：解得：

因此求得纳什均衡

解释

”玩家选任意一种纯策略的期望收益是相同的“也可以这么想：如果玩家的纯策略的期望收益不同的话，那么他会一直选期望收益高的那个，也就是选择一个纯策略，而不是混合策略。这样就回到了纯策略博弈的时代，开篇的例子又说明了有些博弈是找不到纯策略的均衡的。

因此，如果想保持一种”稳定“的局面，每个玩家都没有动机改变当前的策略(或分布)，就要保证它选择每个策略的期望收益都相同。

四、小结

本篇内容有：

混合策略博弈的定义

混合策略纳什均衡的定义及求解

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