洗牌算法-飞

读完本文，你可以去力扣拿下如下题目：

384.打乱数组

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我知道大家会各种花式排序算法，但是如果叫你打乱一个数组，你是否能做到胸有成竹？即便你拍脑袋想出一个算法，怎么证明你的算法就是正确的呢？乱序算法不像排序算法，结果唯(有哪些以lia开头的四字成语？没有lia字开头的成语，QQ接龙红包“一个顶俩”难倒了不少网友，根据成语词典提示，成语中含有俩（lia）的成语有：鬼蜮伎俩、鬼魅伎俩、有三有俩、鬼蜮技俩、一个顶俩。可是，按照规定，必须是俩（lia）开头的成语才可以。但是并没有俩（lia）开头的成语，所以这是一个无解的成语接龙呢。)一可以很容易检验，因为「乱」可以有很多种，你怎么能证明你的算法是「真的乱」呢？

所以我们面临两个问题：

什么叫做「真的乱」？设计怎样的算法来打乱数组才能做到「真的乱」？

这种算法称为「随机乱置算法」或者「洗牌算法」。

本文分两部分，第一部分详解最常用的洗牌算法。因为该算法的细节容易出错，且存在好几种变体，虽有细微差异但都是正确的，所以本文要介绍一种简单的通用思想保证你写出正确的洗牌算法。第二部分讲解使用「蒙特卡罗方法」来检验我们的打乱结果是不是真的乱。蒙特卡罗方法的思想不难，但是实现方式也各有特点的。

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此类算法都是靠随机选取元素交换来获取随机性，直接看代码（伪码），该算法有 4 种形式，都是正确的：

// 得到一个在闭区间 [min, max] 内的随机整数int randInt(int min, int max);// 第一种写法void shuffle(int[] arr) {    int n = arr.length();    /******** 区别只有这两行 ********/    for (int i = 0  i < n; i++) {        // 从 i 到最后随机选一个元素        int rand = randInt(i, n - 1);        /*************************/        swap(arr[i], arr[rand]);    }}// 第二种写法    for (int i = 0  i < n - 1; i++)        int rand = randInt(i, n - 1);// 第三种写法    for (int i = n - 1  i >= 0; i--)        int rand = randInt(0, i);// 第四种写法    for (int i = n - 1  i > 0; i--)        int rand = randInt(0, i);

分析洗牌算法正确性的准则：产生的结果必须有 n! 种可能，否则就是错误的。这个很好解释，因为一个长度为 n 的数组的全排列就有 n! 种，也就是说打乱结果总共有 n! 种。算法必须能够反映这个事实，才是正确的。

我们先用这个准则分析一下第一种写法的正确性：

// 假设传入这样一个 arrint[] arr = {1,3,5,7,9};void shuffle(int[] arr) {    int n = arr.length(); // 5    for (int i = 0  i < n; i++) {        int rand = randInt(i, n - 1);        swap(arr[i], arr[rand]);    }}

for 循环第一轮迭代时，i = 0，rand 的取值范围是 [0, 4]，有 5 个可能的取值。

for 循环第二轮迭代时，i = 1，rand 的取值范围是 [1, 4]，有 4 个可能的取值。

后面以此类推，直到最后一次迭代，i = 4，rand 的取值范围是 [4, 4]，只有 1 个可能的取值。

可以看到，整个过程产生的所有可能结果有 n! = 5! = 5*4*3*2*1 种，所以这个算法是正确的。

分析第二种写法，前面的迭代都是一样的，少了一次迭代而已。所以最后一次迭代时 i = 3，rand 的取值范围是 [3, 4]，有 2 个可能的取值。

// 第二种写法// arr = {1,3,5,7,9}, n = 5    for (int i = 0  i < n - 1; i++)        int rand = randInt(i, n - 1);

所以整个过程产生的所有可能结果仍然有 5*4*3*2 = 5! = n! 种，因为乘以 1 可有可无嘛。所以这种写法也是正确的。

如果以上内容你都能理解，那么你就能发现第三种写法就是第一种写法，只是将数组从后往前迭代而已；第四种写法是第二种写法从后往前来。所以它们都是正确的。

如果读者思考过洗牌算法，可能会想出如下的算法，但是这种写法是错误的：

void shuffle(int[] arr) {    int n = arr.length();    for (int i = 0  i < n; i++) {        // 每次都从闭区间 [0, n-1]        // 中随机选取元素进行交换        int rand = randInt(0, n - 1);        swap(arr[i], arr[rand]);    }}

现在你应该明白这种写法为什么会错误了。因为这种写法得到的所有可能结果有 n^n 种，而不是 n! 种，而且 n^n 不可能是 n! 的整数倍。

比如说 arr = {1,2,3}，正确的结果应该有 3!= 6 种可能，而这种写法总共有 3^3 = 27 种可能结果。因为 27 不能被 6 整除，所以一定有某些情况被「偏袒」了，也就是说某些情况出现的概率会大一些，所以这种打乱结果不算「真的乱」。

上面我们从直觉上简单解释了洗牌算法正确的准则，没有数学证明，我想大家也懒得证明。对于概率问题我们可以使用「蒙特卡罗方法」进行简单验证。

洗牌算法，或者说随机乱置算法的正确性衡量标准是：对于每种可能的结果出现的概率必须相等，也就是说要足够随机。

如果不用数学严格证明概率相等，可以用蒙特卡罗方法近似地估计出概率是否相等，结果是否足够随机。

记得高中有道数学题：往一个正方形里面随机打点，这个正方形里紧贴着一个圆，告诉你打点的总数和落在圆里的点的数量，让你计算圆周率。

这其实就是利用了蒙特卡罗方法：当打的点足够多的时候，点的数量就可以近似代表图形的面积。通过面积公式，由正方形和圆的面积比值是可以很容易推出圆周率的。当然打的点越多，算出的圆周率越准确，充分体现了大力出奇迹的真理。

类似的，我们可以对同一个数组进行一百万次洗牌，统计各种结果出现的次数，把频率作为概率，可以很容易看出洗牌算法是否正确。整体思想很简单，不过实现起来也有些技巧的，下面简单分析几种实现思路。

第一种思路，我们把数组 arr 的所有排列组合都列举出来，做成一个直方图（假设 arr = {1,2,3}）：

每次进行洗牌算法后，就把得到的打乱结果对应的频数加一，重复进行 100 万次，如果每种结果出现的总次数差不多，那就说明每种结果出现的概率应该是相等的。写一下这个思路的伪代码：

void shuffle(int[] arr);// 蒙特卡罗int N = 1000000;HashMap count; // 作为直方图for (i = 0; i < N; i++) {    int[] arr = {1,2,3};    shuffle(arr);    // 此时 arr 已被打乱    count[arr] += 1；}for (int feq : count.values())     print(feq / N + " "); // 频率

这种检验方案是可行的，不过

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