我们生活的这个世界中，充满着怀疑和不确定，长时间以来，似乎数学被看成是确定性的最后堡垒。这也是绝对主义所拥护的观点，因为柏拉图可能是最早坚持这个观点的人，所以也被称为柏拉图主义：

·数学是客观的、精确的；

·数学知识是完美和永恒的；

·可以运用数学来描述自然和技术中的运动和形态。

然而，也有很多的数学家持相反意见，尤其是易误论者。他们认为：

·数学是一个在不断进步的活动；

·某些数学进展被接受是建立在数学家们的权威基础上，而不是建立在理性的证明基础上。

还有一群被称为建构主义者的数学家，其观点可以追溯到康德和克罗内克。他们的目标是重构数学知识，使数学不至于退化和引起矛盾。所以建构主义者拒绝接受康托尔关于实数是不可数的证明，拒绝接受排中律。直觉主义者L·E·J·布劳威尔也属于这一类。

在数学之外的科学发展中，尤其随着相对论、量子力学的面世，绝对主义者的观点已经很大程度上让位于易误论者的思想。然而对于数学，绝对主义/柏拉图主义似乎是主导性的，尽管它一直经受到不断攻击。

在线杂志《数学教育哲学》的编辑保罗·恩斯特说：

在过去的几十年间，新一波‘易误论者’的数学哲学发展壮大起来，这些哲学提出了一种不同的、跟人们以往印象不同的数学形象，认为数学是人性的、可改正的、历史的和不断变化的。易误论把数学看作是社会运行的结果。数学知识永远处在修改之中，不仅是它的论据，还有它的观念，这都是可以理解的。因此，这个观点包含数学家的实践、数学的历史及应用、数学在人类文明中的地位——这些都在合理的哲学思考之中，也是数学评论和教育的结果。

从哲学的角度思考数学算不上是新事物，比如著名法国数学家雷恩·托姆认为，绝对主义在数学中的退却有两个重要原因：

·数学的基础并不像想象的那样可靠；哥德尔的第一不完备性定理表明，公理体系不能获得最有趣味的数学体系的真理；

·传统数学哲学关注面窄，仅限于纯粹数学知识和数学对象存在的基础。

也就是说，在数学界中，数学的研究、哲学、历史、教育和学习都是有关联的，而绝对主义者的思想贫瘠、狭窄。

于是造就了这样的场景：不同水平的数学家、哲学家和教育家汇集成一股强大的改革力量，他们视数学为易错的、可变的，需要改正、修订和论战；而另外一股同样强大的、组成复杂的力量，坚持认为数学是确定性的最后堡垒。两种思考方式与另一种激烈碰撞：数学是发现的，还是发明的？

如果数学知识是完美和永恒的，那么数学家无论提出什么样的新观点，也都只是发现；如果数学是易错的、不断进步的活动，那么新的数学观点就应该是发明。

莫里斯·克莱因针对基础同题却是困惑的：

那么，数学究竟是藏在宇宙深处并逐渐被挖出来的一堆钻石，还是这样一堆人类制造的合成石头——尽管是人造的，但依然如此耀眼，以至于晃晕了数学家们的眼睛，而这些数学家已经被他们自己的创造所带来的骄傲弄得有些忘乎所以了。

数学是待发现的钻石

数学史上有大量的数学家认为数学是一堆等待发现的钻石。

·康托尔就认为“他只是一个报告者，集合论和无穷观念是神展示给他的”。

·柏拉图主张两个世界。

·实在的、真实事物的世界，可以通过感官察觉到它；

·抽象的、精神的世界，也就是思想和观念，比如善良、正义、美和完美的世界。

柏拉图认为：所画的圆、方、平行线都是不完美的，属于实在的世界；但存在着完美的、理想的、永恒不变的事物，我们只能想象得到；对于后者，即使我们消失，它们仍将存在在那里。同样的观念适合于数学：我们是发现数学真理，而不是发明它们。

·当代比较著名的绝对主义代表者，约翰·D·巴罗认为：

数学实体存在于具有抽象观念的领域里，这对于很多现代数学家来说，会很难接受，但对于300年前像牛顿或莱布尼兹那样的数学家来说，他们会认为数学真理的存在不依赖于人类思维是理所当然的。他们深深相信完美赖以存身的神圣思想的存在，因此他们不会认为完美形式的观念有任何问题。他们的问题在于，如何将他们与不完美及身边的具体事物调和起来。

·牛顿也曾在一段著名的评论中形容：自己是一个在海边玩耍的小孩，捡到了一个鹅卵石，或者一个比普通贝壳更漂亮的贝壳，但真理的大海他还没有发现。

·著名的法国数学家查理斯·埃尔米特也有一个类似观点：

我相信，数字和分析函数不是我们精神的特有产物；我相信，它们存在于我们之外，具有与客观实在的对象同样的必要性；我们就像物理学家、化学家和动物学家一样找到或发现它们、研究它们。

·伟大的英国数学分析家G·H·哈代在1929年写道：

对我来说，如果一个数学家通过一种或更多方式不承认数学真理的永恒性和无条件合理性，似乎没有哲学可能会让他满意。数学定理是对还是错，它们的真理或谬误绝对不依赖于我们对它们的了解。在某种意义上，数学真理是客观真实的一部分。

尽管上面的引用都是在哥德尔定理出现之前，但是之后，绝对主义者的观点仍然很盛行。例如哈代在他后来的书《一个数学家的自白》中写道：

我相信，数学真实存在于我们之外，我们能做的就是发现或观察它，我们证明的、大而不当地称之为我们‘创造’的定理只是我们观察的记录。

1945年，重要的法国数学家雅克·阿达马在他的《数学领域的发明心理学》中说：“尽管我们对真理还不了解，但它先于我们而存在，我们不可避免地要遵循它为我们设定的路。“

巴罗对关于基础数学论辩中的一方作了概括：

柏拉图主义关于事实的观点对很多现代科学家和数学家起了潜移默化的影响。它看起来简单、直接、鼓舞人心。在我们的周围，有一个数学真理的海洋还未被发现；我们探寻它，去发现它无尽疆域新的部分。数学真理的广阔天地不依赖于数学家而存在。即使根本没有数学家，它也会存在——的确，一旦它在过去被发现，可能在将来的某一天它还会被再次发现。数学是由一系列对于独立事实的发现所组成的，这些事实包括数字、集合、图形等等这类东西。

接着他提了一个有趣的观点：“如果我们的思想从真实世界得到一个特别的数学工具，那么很有可能，这是一个进化过程的结果，即选择如何描绘与表述这个世界，因为它们（数学工具）最忠实地反映了这个世界真实的图景。”

在绝对主义或柏拉图主义者的观点中，最著名的例子也许要数库尔特·哥德尔形容逻辑学家和集合论者研究的实体：“尽管它们远不是我们能感觉到的，但我们确实也类似有一种对集合论研究对象的感觉，就像从公理就是真的，我们必须接受这样一个事实中所看到的那样。”

数学知识是创造的

不同于绝对主义或柏拉图主义的观点，大批杰出的倡导者认为数学的进步是人类创造的。

18世纪伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德认为，新数学的源泉存在于人类大脑的微妙运转中。数学的发展与人类智慧本身的渐进同步发展。数学的公理和定理是先验综合判断，这使它们有别于基于分析或感觉的经验。

庞加莱在著名的文章《数学的创造》中问：“什么是数学的创造？”然后回答：

它不在于把已经知道的数学知识做一些新的组合。任何人都可以那样做，但这样的组合将是没有穷尽的，它们中的大多数也绝对没有趣味。创造只在于不做无用的组合，只做那些有用的、数量极少的组合。创造意味着洞察力、选择……就像实验事实能引导我们得到物理定律一样，通过与其他事实的类比能引导我们得到数学定律，这样的事实才是值得研究的数学事实。它们向我们揭示其他事实之间不容置疑的亲密关系，虽然我们很久以前就了解它们，但我们错误地认为，这些事实之间没有关系。

同样在这篇文章的另一处写道：“

在开始的时候，最让人印象深刻的是突然出现的启示，这是长期无意识的前期工作的结果。对我来说，在数学创造中，这种无意识工作的重要性是无可争辩的。

约瑟夫·道本说：“格奥尔格·康托尔大体上发明了超限集合论，这时他发现，某些点集可以推广开来用以解决与三角级数相关的非常复杂的问题，这些点集与所有自然数集合的性质之间有着确定的关系。”

杰出的美国物理学家珀西·W·布里奇曼在1927年说：“数学是人类的发明，这是最起码的真实，即便未经训练的观察，都会很快明白这一点。”

爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼在1940年说：

只是在最近，非欧几何和四维几何的出现，才第一次有了好机会给数学一个有意义的评价。这并不是说微积分、概率论、关于无穷的算术、拓扑学等领域的进步作用小。它们中每一个进步都拓展了数学，深化了它的意义，同时也加深了我们对自然世界的理解。但它们中没有哪一个有助于我们对数学的反省，有助于对数学各部分之间的关系，以及它们与非欧几何整体之间关系的理解。作为创造出非欧几何这个异端的勇敢批判精神的结果，我们克服了“数学真理的存在独立于我们的智慧之外”这个观念。这样一种观念曾经存在过，对我们来说，甚至都感到奇怪。

匈牙利出生的数学哲学家伊姆雷·拉卡托斯对于绝对主义者的反对理由，在其名著《证明与反驳》中从非欧几何的角度出发，做了说明：

正是欧几里得方法的绝对可靠论者的哲学背景孕育了数学中权威的传统方式，阻碍了猜想的发表和讨论，使数学批评的兴起成为不可能。文学批评能够存在，因为我们可以无需考虑一首诗是否完美就去欣赏它；但只有数学和科学结果产生了完美的真理，我们才会去欣赏它们。一个证据之所以能成为证据，只有它能证明某些东西；它要么能证明，要么不能。在1847年，一个有瑕疵的证明也可以是受人尊敬的，这是一个革命性的观念。不幸的是，这个观念在今天看来，仍然具有革命性。在19世纪40年代，证明和反驳的方法被发现，这不是一个偶然，当时牛顿光学已经被人抛弃，非欧几何也被发现，绝对可靠论者的妄想粉碎了。

其中对易误论者的两条指责：有一条是，每个事物的运行或每个人的观念都和其他的一样好；另一个是易误论者相信社会力量塑造数学，所以数学受时代风潮的影晌，而不是被自身的逻辑进程所推动。

英国苏塞克斯大学数学教育专家及一份数学教育期刊的编辑保罗·恩斯特认为，有水平的易误论者不会接受它们。他写道：

易误论并不意味着部分或全部的数学可能是错的……第二个针对易误论的批评是：如果数学不是绝对需要的，那么数学应该是任意或反复无常的。正如现实主义者经常讽刺相对主义在科学中的社会建构主义观点一样，易误论者的观点的作用也没有得到足够的承认。因为尽管易误论者相信数学具有在某些时候容易犯错和随着历史的变化而改变的特点，但他们也主张，数学知识在很大程度上是必需的、稳定的、独立的。一旦人类创造出某种能够在实际生活中运用这些规则的东西，比如象棋、数论或Mandelbrot集，从隐藏着的一群规则里显示出来的含义和形式可能会继续让我们吃惊。但不会改变这样的事实：我们首先“发明”了这个游戏。它只是表明这是一个内涵丰富的发明。正如18世纪伟大的哲学家简巴蒂斯塔·维柯所说：我们能确定知道的真理就是我们创造了我们自己。无疑问，数学是这种创造中最伟大的。

既是发明，也是发现

有了对立的立场，就有了中立，这里也不例外。很多人相信数学既是发现，又是发明。比如亨利·庞加莱和查理斯·埃尔米特就持这种态度。庞加莱的文章《数学的创造》似乎支持易误论的观点，但还有一篇名为《数学的发现》的文章。埃尔米特的观点很奇特。或许出于宗教信仰，康托尔的工作是创造而不仅仅是发现，埃尔米特对此很恼火。

1902年，伯特兰·罗素写道：“不仅数学独立于它自己和我们的思想，而且在另一种意义上，我们和整个存在物的宇宙独立于数学。”但在同一篇文章《数学研究》的下一页写道：“理性不能支配事实的世界，但事实也不能限制理性的特权，即对美与真的求索。在这里，正如在其他地方一样，我们在从世界里发现的碎片上树立我们自己的理想；最后，很难说结果是创造还是发现。”因此把罗素归入中立的阵营。

尽管巴罗公开承认自己是柏拉图主义者，然而他意识到，对克莱因提出的问题的解答不简单。例如，他问道：“

另一个世界在哪里？我们怎样才能与之建立联系？我们的理智怎样才有可能与柏拉图的‘王国’有联系，从而我们的头脑状态被这种经验所改变？很多信服柏拉图哲学的数学家都深深地受到他们自己和其他人直觉的影响。他们都有这样的经验：只是‘看到’某些数学定理是对的。这种经验看起来就像是数学真理通过一阵‘直觉’突然袭来的，这种直觉等于就是发现。

奇怪的是，直觉的因素是绝对主义思想的一块基石：数学真理是通过数学家的直觉发现的，然后通过各种证明方法，它们得以正确地建立。

巴罗接着说：“即使在数学家中间，这种对数学结构无感觉的意识也是一种变化很大的能力。于是柏拉图主义者会认为，比起其他人来说，最好的数学家能更经常、更清楚地接触柏拉图的理念世界。”

英国牛津大学的数学教授罗杰·彭罗斯在其书《皇帝新脑》中说，他是“数学是发现的”观念的忠实信徒，但他认为问题不是那么简单：

数学中有些东西用“发现”这个词来形容，确实比“发明”好得多……好比这样一些例子：从它们的结构中得出的东西远比开始时放进去的多。我们可以认为，在这些例子中，数学家偶然发现了“上帝的杰作”。但是也有一些其他的例子，其中的数学结构没有那么引人注目的独特性，比如，在某个结果的证明中，在什么时候，为了得到某个很明确的答案，数学家发现需要引入某种人为的、一点都不独特的结构。在这些例子中，从那些结构中得到的可能不比开始时放进去的多，这样，“发明”这个词看起来就比“发现”这个词更合适了。确实，有一些东西就是“人类的杰作”。在这个观点上，一般来说，人们会认为，对比“纯粹的”发明，真正的数学发现是更伟大的成就和激情。

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