为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释？多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关

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• 为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释
• 多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系

为什么正多面体只有5种，有没有更加直观易懂的解释

生活中我们会遇到许许多多的多面体，其中有一类多面体具有最强的对称性，它们就是正多面体。正多面体每个面都是正多边形，并且每个顶点的情况完全相同。

古希腊的哲学家柏拉图证明了只存在5种正多面体，而且他认为世界中的元素：风、火、水、土和宇宙，都是由这些多面体构成的。现在，我们就把这五种正多面体称为柏拉图立体。

为什么正多面体只有五种呢？现实生活中哪些物质的结构是正多面体呢？读一读这篇文章，你就知道了。

正三角形组成的正多面体

我们知道，任何一个多面体，每一个顶点都至少要连接三个面。比如下图中的多面体，有的顶点连接三个面，有的顶点连接四个面、五个面甚至更多。

边数最少的正多边形是正三角形，我们首先来考虑由正三角形构成的正多面体。按照它每个顶点连接的面的个数不同，我们分情况讨论：

首先，如果这个多面体的每个顶点都只连接三个正三角形，我们可以把正三角形“摊平”在一个平面上，这称为多面体的展开图。并且，假设摊平之后，顶点A连接了红黄蓝三个三角形，如下图所示。

此时，顶点A连接了三个三角形，每个三角形的顶角都是60度，所以三个三角形在A处的角一共180度。AB和AC两边没有封闭，二者之间还相差180度。

然后，我们可以把这三个面折叠起来变成立体图，并且让AB和AC两条边重叠在一起，再用一个三角形补充底面，这样就会构成一种最简单的正多面体：正四面体，它由四个正三角形组成。

柏拉图认为：正四面体代表火。在化学里，白磷的分子结构就是正四面体：四个磷原子在正四面体的顶点位置，构成了一个白磷分子。此外，甲烷结构也是正四面体：碳原子位于正四面体的正中心，四个氢原子位于正四面体的四个顶点上。

那么，如果每个顶点都连接四个正三角形，能否构成正四面体呢？同样，我们画一个展开图。

我们会发现，此时四个正三角形依然没有填满整个平面，AB和AC两条边之间还相差120度角。我们通过折叠的方法把AB和AC重叠起来，就构成了一个四棱锥，将两个这样的四棱锥贴在一起，就构成了第二种正多面体：正八面体，它由八个正三角形组成。

柏拉图认为：正八面体代表空气。在化学里，净水常用的明矾就含有正八面体结构。明矾也叫做十二水合硫酸铝钾，它含有铝离子、钾离子、硫酸根离子和结晶水。其中铝离子和周围的六个结晶水就构成了正八面体结构。

大家看，红色小球代表水分子，灰色小球代表铝离子，一个铝离子会和周围的六个水分子构成正八面体结构，如图中的灰色部分所示。

接下来，我们要讨论一个顶点连接五个正三角形的情况。此时，平面内的五个正三角形顶角之和为300度，AB和AC边之间还相差60度。

我们把图形折叠起来，让AB和AC边重合，构成一个雨伞的形状。我们把两个雨伞上下对着，再连接它们顶点，就构成了正二十面体。

柏拉图认为：正二十面体代表水。在现实生活中，有一种以细菌为食物的病毒——噬菌体，它的头部接近于正二十面体。

我们现在已经知道了三种由正三角形构成的柏拉图立体，它们分别是每个顶点连接三个面的正四面体、每个顶点连接四个面的正八面体和每个顶点连接五个面的正二十面体。那么，每个顶点可以连接六个正三角形吗？答案是不行。原因是在一个平面内，六个正三角形的顶角之和刚好是360度，如下所示。

这时，我们已经没有办法折叠这些三角形，使它构成正多面体了。于是，由正三角形构成的正多面体就只有三种。

正四边形构成的正多面体

下面，我们来讨论由正方形构成的正多面体。

假如这个正多面体每个顶点连接三个正方形，平铺在地面上如图所示。

此时AB和AC边不重合，相差90度角，我们将三个正方形折叠，使AB和AC重合。再用两个这样的结构拼在一起，就构成了正六面体，也就是正方体。

柏拉图认为：正六面体代表土。在化学中正六面体结构的物质很多。例如立方烷由8个碳原子和8个氢原子构成，八个碳原子就构成了一个正六面体。

此外，氯化铯的体心立方结构、氯化钠的面心立方结构，也都有立方体的影子。

由正方形组成的正多面体，每个顶点能连接四个面吗？显然，这是行不通的。因为四个正方形的顶角刚好是360度，会填满一个平面，无法折叠。

于是，由正方形构成的正多面体只有1种。

由正五边形构成的正多面体

我们按照刚才的方法讨论正五边形构成的正多面体。正五边形每个顶角是108度，如果一个顶点连接三个正五边形，画在平面上如下图所示：

此时，AC和AB两条边之间还有36度角，我们通过折叠使AB和AC边重合。再用四个这样的结构拼接到一起，就构成了正十二面体。

正十二面体由十二个正五边形组成，柏拉图认为，正十二面体代表宇宙。在化学上，可燃冰的结构中含有正十二面体。可燃冰实际上是甲烷的水合物，甲烷分子和水分子会构成正十二面体和十四面体两种结构，它们再一起组成可燃冰的晶胞。

那么，一个顶点能够连接4个正五边形吗？这是不可以的，因为四个正五边形的顶角之和等于432度，已经超过了360度的圆周角，不能铺在平面上，更别说折叠了。

所以，由正五边形构成的正多面体就只有一种。

还会有由正六边形、正七边形、正八边形…组成的正多面体吗？也不会的因为这些正多边形的内角都达到或者超过了120度，于是三个图形组合在一起，顶角就达到或者超过了360度，没办法折叠了。

如此，我们从一个简单角度解释了为什么正多面体只有五种：我们首先需要把三个以上的正多边形平铺在平面上，然后再把它们折叠起来。要做到这一点，只有由正三角形构成的正四面体、正八面体、正二十面体，由正方形构成的正六面体和由正五边形构成的正十二面体了。

半正多面体。

不过，如果要求多面体每个面都是正多边形，但并不要求正多边形都是完全相同的，那么能构成的多面体就很多了，这些多面体都叫做半正多面体。

例如，有13种阿基米德多面体，它由多种正多边形组成，但是每个顶点的情况都是完全相同的。注意扭棱立方体和扭棱十二面体有两种对称的结构。

大家注意到没有，阿基米德多面体中的截角二十面体就是足球形状，它由12个正五边形和二十个正六边形组成。

除了阿基米德多面体外，半正多面体还有无限多种棱柱和反棱柱，以及92种约翰逊多面体。

这些多面体在化学中也都能找到对应的物质结构。

小朋友们，现在你对多面体的认识是不是更深刻了一点呢？

多面体的顶点数、面数和棱数之间有什么关系

4维空间中的“多面体”表面由三维多面体＋面＋棱边＋顶点构成，设4维“多面体”表面的三维体的个数为T3，面数为F，棱边数为E，顶点数为V，则有4维“多面体”的欧拉公式为：T3－F＋E－V＝0。

4维正立方体表面有8个三维正立方体，24个正方形面，32条棱边，16个顶点，符合上式。4维最简体的表面有5个三维空间中的四面体，10个三角形面，10条棱边，5个顶点，符合上式。

设5维空间中的“多面体”表面有T4个四维“多面体”，T3个三维多面体，F个面，E条棱边，V个顶点，则有5维“多面体”的欧拉公式为：T4－T3＋F－E＋V＝2。

上述讨论可以推广到n维。

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