重磁异常的解析延拓？数学上，有哪些著名的解析延

本文目录

• 重磁异常的解析延拓
• 数学上，有哪些著名的解析延拓
• 解析延拓怎么理解
• 延拓的名词解释
• 延拓函数是什么
• 重、磁资料解释方法与技术
• 复变函数的解析延拓原理
• 磁异常的解析延拓
• *空间域解析延拓法

重磁异常的解析延拓

重磁异常是随着场源深度的变化而变化的，当叠加异常的场源来自不同深度时，它们随着观测平面高度的变化而增减的速度也不同。浅部地质因素所引起的异常随观测平面高度的变化具有较高的敏感性；而深部地质因素却显得比较迟钝。因此，在异常的划分中，人们提出用异常的空间换算方法来划分不同深度的叠加异常。具体计算是根据地面实测重磁异常值计算出场源以外其他空间位置的重磁异常值，此过程称为异常的解析延拓。常用的解析延拓方法有向上延拓和向下延拓两种。向上延拓是将地面实测的异常换算为地面以上另一高度观测面上的异常；而向下延拓则是根据地面实测异常求取地下某一深度（场源深度以上）观测面上的异常。

一般来讲，向上延拓总是给出比原来更平滑的异常图。对于划分异常起因于较深场源的异常效果较好。它使叠加异常中的浅部地质因素的影响减弱，而深部地质因素的影响相对增强。而向下延拓可以使浅部地质因素的影响相对增强，深部地质因素的影响相对减弱。但是，当向下延拓的深度接近或大于场源深度时，延拓后的场值会显示出急剧的波动。在某种情况下，波动开始时的水平面可能给出场源异常物体的顶部埋深。

从上面的讨论可知，解析延拓对于划分来自不同深度的场源异常特别有用。向上延拓相当于“低通滤波器”，对异常起圆滑作用。当原始异常的精度较低时，对向上延拓影响不大，仍可得到比较圆滑的异常。而向下延拓要求原始异常精度较高，因为向下延拓相当于“高通滤波器”，由于个别点的误差经过“放大”会使延拓后的异常出现强烈的跳动。因此，对异常向下延拓时，首先要对异常的数据进行圆滑，然后再进行延拓。

1.向上延拓公式的推导（以重力异常为例）

向上延拓是以诺伊曼无限平面外部问题为基础。诺伊曼无限平面外部问题可以作如下通俗解释：如果一个未知地质体在观测平面上引起的重力异常为已知，则可以将这个平面展布成一个无限大的物质面，使这个物质面各点的面密度μ（ξ，η，0)满足下式：

勘探重力学与地磁学

式中的Δg（ξ，η，0)为（ξ，η，0)点上的重力异常值。则这个物质面在其外部空间任意点所引起的重力异常及其各阶导数，与未知地质体在该点引起的重力异常及其各阶导数等效。因此，可以用这个等效物质面来代替未知地质体，来计算它在地面以上各点产生的重力场。向上延拓坐标如图10-6所示。坐标原点选在物质面上（一般指地表面），计算点选在坐标原点垂线上的-z处。新布置的密度不均匀的无限大物质面在其上部空间P（0，0，-z）点产生的引力位为

图10-6 向上延拓坐标示意图

勘探重力学与地磁学

将（10-27）式代入（10-28）式，得

勘探重力学与地磁学

将上式对z求导数，则可以得到P点处的重力异常表达式：

勘探重力学与地磁学

对于二度体来说，y方向无限延长。因此，将（10-30)式对η积分时，Δg在y方向不变，可以把Δg提出积分号之外，然后对η积分，得

勘探重力学与地磁学

2.二度异常的向上延拓

如果某一个二度地质体在地面某一剖面上的重力异常为已知，则根据（10-31)式，上延高度为h时的公式为

勘探重力学与地磁学

式中：Δg（ξ，0)为地质剖面上ξ点的重力异常值。为了计算方便，用有限的分段积分求和来表示，取数的点距以延拓高度h为单位，而 与 之间的Δg（ξ，0）用ih点的重力值Δg（ih，0）来代替，则得

勘探重力学与地磁学

将i＝0，±1，±2，…，±N分别代入（10-33）式，并将结果加以整理即可求出二度体的上延公式：

勘探重力学与地磁学

用上述公式，分别代以z＝-2h，-3h，…，-mh并计算出相应的系数C₀，C₁，…，C_n，可得出向上延拓z＝-mh的一般公式为

勘探重力学与地磁学

磁异常向上延拓的原理与重力异常是相同的，对于磁异常向上延拓的公式可以写成

勘探重力学与地磁学

向上延拓高度n＝h，2h，3h，4h时的系数如表10-1所示。

表10-1 二度异常向上延拓系数表

从上式可以看出，重磁异常的向上延拓是比较精确的，但是在实际应用时不可能为了计算上部空间一个点的场值，而进行无限大区间的积分，总是用有限项的和来近似无限积分。因此向上延拓换算的准确度主要决定于参与计算的剖面的长度，剖面越长，点数越多，计算精度越高，但所造成的边缘损失也越大。

向上延拓是一种常用的处理方法。它的主要用途是突出深部地质因素的影响，削弱浅部地质因素的干扰，有利于深浅两种叠加异常的划分。

3.二度异常的向下延拓

重力异常的向下延拓至今还缺乏严格而有效的方法。目前，空间域中常用的一个方案是利用上半空间的异常，并根据拉格朗日插值原理，外推求出下半空间的异常。拉格朗日插值公式见（10-9)式。当在二度异常向下延拓中，一般采用复数形式的拉格朗日插值公式，即将公式中的 x换成复变量z（z＝x＋iy），这时（10-9）式可写成

勘探重力学与地磁学

式中：Π_m（z）＝（z-z₀）（z-z₁）…（z-z_m）；

勘探重力学与地磁学

W（z）为复场强，z＝x＋iy， 。

令复场强表示重力异常，并将（10-36)式向下半空间外推，就可以导出目前常用的一些近似公式。例如，m＝3，即在复平面上取m＋1＝4个插值点，z＝ih，z₀＝0，z₁＝h，z₂＝-h，z₃＝-ih（图10-7）并代入（10-36）式整理，当取h为延拓高度时，可写出

图10-7 向下延拓插值点位置图

Δg（0，h）＝4g（0，0）-Δg（h，0）-Δg（-h，0）-Δg（0，-h)（10-37）

式中：Δg（h，0），和Δg（-h，0）是观测剖面上的已知值；Δg（0，-h）是原点正上方高度为h点上的上延值，Δg（0，h）便是向下延拓的异常值。如果将（10-34）式代入式中的 Δg（0，-h），则得等间距下延的近似公式为

勘探重力学与地磁学

同理向下延拓公式的一般形式为

勘探重力学与地磁学

对于磁异常向下延拓公式的一般形式为

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二度体向下延拓系数如表10-2所示。

表10-2 二度体异常某些向下延拓公式系数表

4.三度异常的向上延拓

对（10-30）式取柱坐标形式，延拓高度z换作h时，可得

勘探重力学与地磁学

令

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